浅谈在分数除法应用题中如何列等量关系式

浅谈在分数除法应用题中如何列等量关系式

马宗迁

摘  要：比较量÷标准量=分率

关键词：比较量、标准量、分率

分数应用题的教学，是小学数学中的一个重点，也是学生学习的一个难点。因为这类题比较抽象，学生常常因为分析失误而错解。我在几年的小学数学教学中，摸索总结出一些规律，想把它推荐给大家。

   一、分数乘除法所用的等量关系

比较量÷标准量=分率比比较量÷标准量=分率

认识理解这个数量关系，是我们列等量关系的基础。那么什么是比较量、标准量、分率呢？我们来看下面的例句分析就明白了。

例如：桃树棵数是梨树棵数的 ，同时桃树棵数又是苹果树的

这两句中的“是”都是等于的意思，前一句中的 ，是把梨树的棵数看作单位“1”，平均分5份，桃树棵数占3份，后一句中的 ，是把苹果的棵数看作单位“1”，平均分2份，桃树棵数有3份，如下图所示：

                                        梨树棵树

                                 桃树棵树

               苹果树棵树

同样的的桃树的棵数，去和梨树比时结果是 ，因为 说明桃树棵数数量小。去和苹果树棵数比结果是 ， >1说明苹果树棵数的数量大。为什么同一个数会出现又大又小的矛盾呢？是因为两句中比法的标准不一样造成的。前一句的 结果是以梨树棵数为标准，后一句 结果是以苹果树棵数为标准，可见这个标准尺子很重要，同一个数量和不同的标准去比结果是不一样的。

在这类关键句子中，位置和身份类似于“梨树棵数”“苹果棵数”的量，我们称之为标准量。也就是单位“1”在分数中是分母，在除法中做除数。那么位置和身份类似于“桃树的棵数”的量，称之为“比较量”相当于分数中的分子，教比常常做被除数，他们相除的商叫分率，表示二者的倍比关系。

类似句子再如：（1）故事书（比较量）占童话书（标准量）的    （分率）（2）三好学生（比较量）相当于全班人数（标准量）的 （分率）

如此说来句子中的标准量（单位“1”）是很重要的，那么如何判断句子中的标准量呢？这要看题中句子的具体的结构，一般说来，（1）某数的几分之几“某数”就是单位“1”（2）谁比谁多几分之几或少几分之几，“比”字后面的数量，多几分之几，前面紧邻的数量就是单位“1”，（3）谁是谁的几分之几，“是”后面的数量就是单位“1”

明确了标准量的判断方法，也知道了标准量在等式中位置作除数，那么我们在句子中找等量关系，列等式就唾手可得啦。下面我们就来看一看常见句子中，哪些是标准量，哪些是比较量。

   二、常见句子中的标准量

   1、“是”结构的句子

   这种句子直接反应了两个数量的关系。标准量容易找，等式也好列。

   例如：甲是乙的 ，这个关键句子直接把甲和乙的大小关系在 中表达出来，根据前面标准量的判断方法，“是”字后面是乙，乙是标准量，甲是比较量， 是分辨率，表示甲乙的倍比关系。

   因为乙是标准量，作除数，甲是比较量作被除数，那么“甲是乙的 ”这句话中的“是”字，虽然是等于意思，可直接利用它转化成等式中的“÷”号，即甲÷乙=

   这句话也可以说成“乙的 是甲”，或“甲是乙的 ”的倒装句，这里“是”仍然是“等于”的意思，也可以用“占”“相当于”代替，但没有“的”重要了，故称“的”结构，“的”前面是标准量乙，甲是比较量“的”可直接转化为“×”号即乙× =甲

   弄明了这类句子的特点，解题就有规律啦。

   如“求一个数是另一个数的几分之几，这句话根据是判断另一个数是标准量作除数，一个数是比较量作被除数，是也就相当于“÷”，所求的几分之几就是分率，即一个数÷另一个数，这就是分数乘除法应用题的第一种，求一个数是另一个数的几分之几是多少，用除法。

  例如8米（比较量）是10米（标准量）的几分之几？

      3千克（比较量）占4千克（标准量）的几分之几？

     1.8立方米（比较量）相当于2.1立方米（标准量）的几分之几?

   分数应用题的第二种，就是求一个数（标准量）必知道标准量和分率，就是求一个数（标准量）的×几分之几是多少，用乘法，就是强调的字句子。

   例如：14吨（单位“1”）的 （分率）是多少？

           分（单位“1”）的 （分率）是多少？

           升（单位“1”）的 （分率）是多少？

   如果求标准量（单位“1”）必须已知比较量和分率，属于分数应用题的第三种，已知某数的几分之几是多少求某数，用除法。

   例如：一个数（单位“1”）的 是24，求某数。

         一个数（标准量）的 （分率）是24（比较量），求某数，

   2、“比”结构

这种句子标准量的“比”字后面，分率是两个亮点 差与标准量的关系，也就是差是比较量。

例如“甲比乙多 ，这句话中，单位“1”是乙， 是分率，乙的  是比较量，即是甲与乙的差。即甲－乙=差因为句子中含有“……比……多（少）几分之几”故把这类句子称“比”结构句子。

因为“甲比乙多 ”表示甲比乙多乙的4份的1份，那么甲就是（等于）乙的 （1+ ），这就把“比”结构句子转化成了“是”结构的句子。同理“甲比乙少 ”可推出“甲是乙的  

因此“比“结构的句子与“是”结构的句子是相互依存的不能单独存在。每一个“是”结构的句子中都隐含有一个“比”结构句子，反之每一个“比”结构句子也都隐含一个“是”结构的句子，二者可以相互依存转化，句子形式不同，也就隐含着不同形式的等量关系式。

弄明白了“是”结构句子和“比”字结构句子的结构特点，从中能很快列出等量关系式，掌握了这两种句子结构规律，复杂句子的结构也就容易掌握了，因为复杂的句子都是由这两种基本句子组合而成的。

    三、列等量关系式的方法

找等量关系是解答应用题最关键的一步，找出了等量关系，解答应用题就已经大功告成，上面我们介绍了分数乘除法所用的数量关系，及单位“1”的判断，基本句子的结构特征，有了这些知识，列等量关系式就容易了。

例如“男生人数是全班人数的 ，这句话中标准量是“全班人数”作除数，“男生人数是比较量，作除数， 是分率作为商，得等量关系式，男生人数÷全班人数= 或全班人数× =男生人数

同理得“今年小麦总产量是去年的 ，可得今年小麦总产量÷去年总产量= ，或去年小麦总产量× =今年小麦的总产量。

因此“是”结构句子列量式方法可总结为：

一个数是另一个数的  ，得一个数÷另一个数= 或另一个数×  =一个数。

   那么“比”结构的句子等量关系又如何列呢？根据上面结论“比”结构的句子可以转化成“是”结构的句子，问题不就解决了吗？

   例如：“甲比乙多 ，就表示甲是乙的 得等式，甲÷乙=1+  或乙×（1+ ）=甲

同理“甲比乙少 就表示甲是乙的 （1－  ）得等式，甲÷乙=1+  或乙×（1—  ）=甲

由此可得：“比”结构句子列等量关系，先转化成“是”结构的句子就可以了，而多的用“＋”表达，少的用“－”号表达。

   即：“甲比乙多  ，列成等式是

   甲÷乙= 或乙×（ ）=甲 （多用“+”表达）

甲比乙少 ，列成等式是

甲÷乙=1－ 或乙（1－ )=甲（少用“—”表达）

   掌握了这两种关键句子列等量关系的方法，其他较复杂的关键句子，列等量关系就容易多了。

   例如“甲的 等于乙的 ”这个句子，前半部分“甲的 ”和后半部分“乙的 ”各是由一个基本句子，总的这个复杂的句子是由两个“的”结构句子组成，前部分“甲的  ”，甲是标准量，“  ”是分率，列成甲×  后半部分把乙看作标准量，“ ”是分率，列成“乙× ”，中间是等于（二）把这两个式子连接起来，即甲× =乙×

  类似复杂的句子还有“甲的 是乙的 甲的 比乙的 多 ……主要都是由“是”结构句子和“比”结构句子组合而成的，掌握好这两种句子的结构特征，列等式的方法，是列好复杂句子等量关系式的关键。

   总之，解答分数应用题，找等量关系是必不可少的一步，它能极大地提高学生解答题目的速度和准确率，记住分数乘除法应用题的思路方法，对提高数学分析能力是有很大帮助的。

  限于我的水平有限，不当之处，敬请有关人士指正，多多感谢。